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大一《高等数学》上册各章节重点总结

第一章 函数、极限、连续（小结）

一、函数

1. 邻域

• 邻域：

• 去心邻域：

2. 定义域

• ：

• ：

• ：

• ：

二、极限

1. 极限定义（了解）

• 数列极限：

若对于 ， ，当 时，有 ；

Note：核心是 “任意小的，存在足够大的”。

• 函数在 时的极限：

， ，当 时，有 ；

Note： 表示不考虑 点的定义。

• 函数在 时的极限：

， ，当 时，有 ；

Note：适用于趋向正无穷或负无穷的场景。

2. 函数极限的计算（掌握）

（1）核心定理

（分段函数重点应用）

（2）各类未定式求解

• 型：

① 约公因子、有理化；

② 重要极限：；

③ 等价无穷小因式代换：

• 型：先通分转化，例：

• 型：转化为无穷小量处理

• 型：重要极限：

（3）无穷小量性质

• 无穷小 × 无穷小 = 无穷小；

• 无穷小 × 有界量 = 无穷小（例：）

（4）函数极限与无穷小的关系

，其中 （抽象函数常用）

（5）微分中值定理应用（第 3 章关联）

，例：

（6）洛必达法则（第 3 章关联）

适用于或型，（例：）

3. 数列极限的计算

• 夹逼原则：若 且 ，则

• 积分定义：（第五章关联）

• 特殊极限：

三、连续

1. 函数在点处连续的定义

Note：一切初等函数在其定义域内均连续。

2. 闭区间上函数连续的性质

• 最大最小值定理：若在上连续，则在上必有最大值和最小值。

• 零点定理：设 ，且 ，则至少存在一点 ，使得。

• 介值定理：设 ，且 ， ，则对与之间的任意常数，至少存在一点 ，使得。

四、间断点

1. 第一类间断点（左右极限均存在）

• 可去间断点：（或无定义）

• 跳跃间断点：

2. 第二类间断点（至少一个左右极限不存在）

• 无穷间断点：左右极限之一趋向（例： 在 处）

• 振荡间断点：左右极限振荡不存在（例： 在 处）

第二章 导数与微分（小结）

一、导数的概念

1. 导数定义

Note：

① 定义主要用于定理证明；

② 导函数定义：

2. 分段函数在分段点处的可导性判别

定理：在处可导 在处连续且左右导数存在相等。

左导数：

右导数：

3. 导数的几何意义

曲线在点处的切线斜率 ：

• 切线方程：

• 法线方程：

二、导数的运算

1. 四则运算法则

2. 反函数求导

若 与 互为反函数，则

3. 复合函数求导（链式法则）

设 ， ，则

4. 隐函数求导

对 两边关于求导，将视为的函数，解出

5. 参数方程求导

设，则

三、微分

1. 微分的概念

若，则

Note： ，对 ，有

2. 微分在近似计算中的应用

（接近时）

第三章 微分中值定理及导数的应用

一、微分中值定理

1. 罗尔（Rolle）中值定理

条件：在连续、可导、

结论：至少存在一点 ，使得

Note：① 用于证明导函数根的存在性；② 证明原函数根的唯一性。

2. 拉格朗日中值定理

条件：在连续、可导

结论：至少存在一点 ，使得

Note：① 用于求极限时替换差值；② 建立不等式证明。

3. 柯西中值定理

条件：在连续、可导，且

结论：至少存在一点 ，使得

Note：洛必达法则的理论基础。

二、洛必达法则

• 适用类型：型或型未定式

• 核心公式：（满足法则条件时）

• 技巧：① 可结合重要极限、等价无穷小代换使用；② 非分式型可通过变形创造分式。

三、泰勒公式

• 带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：

• 带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：

  
  即，其中

• 带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广
  

四、函数图形的描绘

步骤：

1. 确定定义域，分析奇偶性、周期性；
2. 求（单调区间、极值点）和（凹凸性、拐点）；
3. 令 求可疑极值点，令 求可疑拐点；
4. 补充特殊点，求渐近线（水平：；垂直：）；
5. 列表分析单调性、凹凸性、极值、拐点；
6. 绘制图形。

五、曲率

1. 弧微分

• 公式：

2. 曲率与曲率半径

• 定义：描述曲线在某点弯曲程度的量，（为切线的倾角）。

• 计算公式：
  （直角坐标）
  （参数方程）
  （极坐标）

• 曲率半径：

3. 曲率公式的推导证明（ 情形）

证明过程：

1. 设曲线方程为 ，曲线上一点 处的切线倾角为 ，弧长为 。根据曲率定义：
   

2. 由导数的几何意义可知：
   对 求导（利用复合函数求导法则）：
   

3. 由弧微分公式可知：

4. 利用链式法则计算 ：
   
   代入步骤 2 和 3 的结果：
   

5. 取绝对值即得曲率公式：
   
   证毕。

4. 曲率圆

• 曲率中心 ：

六、最值的计算

1. 求在内的可疑极值点（ 或不存在的点）；

2. 计算可疑极值点及端点处的函数值，最大值；

3. 特殊情况：

• 若上只有一个可疑极值点，且为极大值点，则其为最大值点；

• 若在上单调，则最值在端点取得；

• 实际应用问题可根据意义直接判别最值点。

第四章 不定积分

一、不定积分的概念

定义：，其中 ，为积分常数。

Note：

① 积分常数不可遗漏；

② ，；

③ 线性性质：，（为常数）。

常用基本积分公式

二、换元积分法

1. 第一类换元法（凑微分法）

（令 ）

常用凑微分形式：

• ，

• ，

技巧：

• 被积函数为三角函数偶次方需降次，奇次方需拆项；

• 优先将 “复杂部分” 凑成中间变量。

2. 第二类换元法

（令 ， ）

常用代换类型：

• ：令

• ：令

• ：令

• ：令

• ：令

• ：令

三、分部积分法

公式：（或）

Note：

① 按 “反对幂指三” 顺序选择（反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）；

② 目标：使比更易计算；

③ 适用于异名函数相乘，单个函数（如、）可补乘后使用；

④ 复杂问题需多次应用。

四、有理函数的积分

1. 假分式化简：假分式 = 多项式 + 真分式（多项式除法）；

2. 真分式分解：将分母因式分解（一次因式、二次不可约因式），拆分为部分分式之和；

3. 逐项积分：对分解后的简单分式分别积分。

Note：部分题目需结合多种积分方法，灵活运用。

第五章 定积分

一、定积分的概念及性质

1. 定义

，其中 ，。

2. 几何意义

• 若 ，表示曲线 与轴、 、 围成的曲边梯形面积；

• 若 ，表示该面积的负值。

3. 核心性质

1. ，；

2. ；

3. 线性性质：，；

4. 区间可加性：（为任意常数）；

5. 保号性：若在上 ，则；

6. 估值不等式：设 ， ，则；

7. 积分中值定理：若在上连续，则存在 ，使得。

4. 变上限函数

定义：

导数公式：

5. 牛顿 — 莱布尼茨公式

若在上连续，是的一个原函数，则。

二、定积分的计算

1. 换元积分法

换元必换限，凑微分不必换限。例：令 ，则。

2. 分部积分法

3. 奇偶函数积分性质

• 若为奇函数，；

• 若为偶函数，。

4. 广义积分（反常积分）

• 无穷区间：，；

• 无界函数：（在 处无界）。

三、定积分的应用

1. 平面图形的面积

• 直角坐标：（上下曲线），（左右曲线）；

• 极坐标：（曲线 与 、 围成）。

2. 曲线的弧长

• 直角坐标：（ ， ）；

• 参数方程：（， ）；

• 极坐标：（ ， ）。

3. 立体体积

• 平行截面面积已知：（为处截面面积）；

• 旋转体体积：

① 绕轴：（曲线 绕轴旋转）；

② 绕轴：（曲线 绕轴旋转）。

4. 物理应用（微元法）

• 变力做功：物体在变力 作用下沿 轴从 移动到 ，
  

• 液体压力：垂直浸没在液体中的平板侧面受到的压力（设液体密度为 ），
  
  （其中 为深度， 为在深度 处的板宽，即微元面积 ）

第六章 微分方程

一.微分方程的基本概念

1.微分方程

含导数或微分的方程称为微分方程，一般形式为

2.微分方程的阶数

微分方程中所含导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数。

3.微分方程的解

使得微分方程成立的函数称为微分方程的解。
不含任意常数的解称为微分方程的特解。
若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为微分方程的通解。

二、一阶微分方程的常用解法

1. 可分离变量的微分方程

• 形式：
• 解法：两边直接积分，

2. 齐次微分方程

• 形式：
• 解法：令 （即 ），则 。
  代入原方程分离变量求解。

3. 一阶线性微分方程（重点）

• 形式：
• 通解公式（必须背诵）：
  

---

三、可降阶的高阶微分方程

1. 型

• 解法：两边连续积分 次即可。

2. 型（缺 ）

• 特点：方程中不显含未知函数 。
• 解法：
  1. 令 ，则 ；
  2. 原方程化为一阶方程 ；
  3. 求出 后，再积分一次得到 。

3. 型（缺 ）

• 特点：方程中不显含自变量 。
• 解法：
  1. 令 ，由复合函数求导 ；
  2. 原方程化为 ；
  3. 求出 后，解 （分离变量法）。

伯努利方程* (Bernoulli Equation)

伯努利方程的标准形式

形如

的方程称为伯努利方程。

（注：当 时它是线性方程；当 时它是可分离变量方程）。

求解步骤如下

核心思想是通过变量代换，将非线性的伯努利方程转化为一阶线性微分方程。

1. 方程变形

   将原方程两边同时除以 ，得到：

2. 变量代换

   令 ，则对 求导有：

3. 化为线性方程

   将上述关系代入变形后的方程，整理得到关于 的一阶线性微分方程：

4. 求解与回代

   利用一阶线性微分方程的通解公式求出 的通解，最后用 代回，得到原方程的通解（通常写成隐式解）。

五.高阶微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的解法

二阶常系数齐次线性微分方程

形如

的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。

求解步骤如下

求解方程 的特征方程

根据特征方程根的不同分为如下三种情况：

1. 当 ，两特征值 ，则原方程的通解为

2. 当 ，特征方程有两个相等的实根 ，则原方程的通解为

3. 当 ，特征方程有两个共轭虚根 和 ，则原方程的通解为

二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

二阶常系数非齐次线性微分方程

形如

的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程。

求解步骤如下

原方程的通解结构为：

其中 是对应齐次方程（即 时）的通解， 是原非齐次方程的一个特解。

求解特解 通常使用待定系数法，根据 的形式分为以下两种情况：

1. 当 型

   其中 是 次多项式。特解设为：

   • ：与 同次的多项式（系数待定）。
   • 的取值：由 与特征方程根的关系决定：
     • 若 不是特征根，取 ；
     • 若 是单特征根，取 ；
     • 若 是二重特征根，取 。

2. 当 型

   特解设为：

   • 的取值： ，即取次数较高的那个。
   • ：两个均为 次的待定多项式。
   • 的取值：由复数 与特征方程根的关系决定：
     • 若 不是特征根，取 ；
     • 若 是特征根，取 。

欧拉方程 (Euler Equations)

欧拉方程的标准形式

形如

的变系数线性微分方程称为欧拉方程。

求解步骤如下

通过变量代换将变系数方程化为常系数方程。

1. 变量代换

   令 或 ，利用复合函数求导法则进行变换：

2. 代入原方程

   将上述 代入原方程，整理可得关于 的二阶常系数线性微分方程：

   (注意：一次项系数变成了 )

3. 求解与回代

   求出关于 的通解 后，将 代回，即可得到原方程关于 的通解。

六.三阶常系数齐次线性微分方程

形如

的微分方程为三阶常系数齐次线性微分方程。

其特征方程为

根据特征值的不同情形通解如下：

1. 当 是实数，并且两两不等时，通解为

2. 当 是实数，并且 时，通解为

3. 当 是实数，并且 时，通解为

4. 当 是实数， 和 时，通解为

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