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伽玛函数

距上次更新 326 天

反常积分重要函数之伽玛函数

做题的时候突然看到这玩意，居然一点印象都没有

常用于概率论的计算，其实凑正态也行

如：

性质

1. 递推公式 的推导

这是伽玛函数最核心的性质，通过分部积分法（Integration by Parts）证明。

根据伽玛函数的定义：

设：

利用分部积分公式 ，有：

分析边界项 ：

  1. 当 时，根据洛必达法则，指数函数 的增长速度远快于幂函数 ，故极限为 0。
  2. 当 时（假设 ）， 为 0。

因此边界项为 0，剩下的部分为：

观察积分部分，正好是 的定义，得证：

2. 阶乘关系 的推导

基于上述递推公式，利用数学归纳法推导。

第一步：计算

我们知道 ，故 成立。

第二步：利用递推公式展开
对于正整数 ：

第三步：推广
假设 ，则：

得证：

3. 特殊值 的推导

利用换元法将伽玛函数转化为高斯积分（Gaussian Integral）的形式。

根据定义：

第一步：换元
令 ，则 。积分限保持 。

第二步：利用二重积分求解高斯积分
设该积分为 ，即 。
构造平方 ：

第三步：转换为极坐标系
令 。
区域为第一象限，故 。
面积元 。

第四步：开方

代回 的表达式：

得证：

例题

一道很简单的积分计算

我们需要计算以下定积分的值：

解题思路

该积分的形式包含指数项 和幂函数项，非常符合 伽玛函数 (Gamma Function) 的定义形式。

回顾伽玛函数的定义：

且对于正整数 ，有性质 。

为了利用这一工具，我们需要通过 换元法 将原积分变形为标准形式。

详细计算步骤

1. 换元处理

令 ，则有：

对两边微分：

为了方便代换，我们可以将原被积函数中的 拆解为 ：

将 和 代入上式：

积分限变换：

  • 当 时， ；
  • 当 时， 。
    积分区间 保持不变。

2. 代入积分

将上述变换代入原积分 ：

3. 利用伽玛函数求解

观察上式中的积分部分：

对比伽玛函数定义 ，我们可以确定 的值：

因此，该积分部分等于 。

利用伽玛函数的阶乘性质 ，我们得到：

4. 最终结果

将 的值代回原式：

答案：

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